记一次数学在解决实际问题的运用

在工作中遇到一个问题可以抽象为数学几何问题，特在此记录

# 题目

已知：

• 点A（$x_1$, $y_1$）
• 点B（$x_2$, $y_2$）
• 点C（$x$, $y$）到点A的距离为$z$
• A、C、B构成直角三角形，∠CAB是直角
• $x_1, y_1, x_2, y_2, z$均为已知量

如图：

求：点C的坐标（即$x$, $y$的值）

# 解法

• 点A及点C结合两点间距离公式得到式（1）：

$(x_1 - x)^2 + (y_1 - y)^2 = z^2$

• 再根据勾股定理，结合两点距离公式可以得到式（2）：

$(x_2 - x_1)^2 + (y_1 - y_2)^2 + z^2 = (y_2 - y)^2 + (x_2 - x)^2$

于是，该问题就变成了求解二元二次方程组的问题了

将（1）代入（2）并将二次项全部拆分得：

$x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 + x^2 - 2x_1x + x_1^2 + y^2 - 2y_1y + y_1^2 = x_2^2 - 2x_2x + x^2 + y_2^2 - 2y_2y + y^2$

• 将结果转化为x = y的形式，得：

$x = \frac {x_1x_2 + y_1y_2 - x_1^2 - y_1^2 - (y_2 - y_1)y} {x_2 - x_1}$

• 令：

$a = \frac {x_1x_2 + y_1y_2 - x_1^2 - y_1^2} {x_2 - x_1}$

$b =\frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}$

• 则：

$x = a - by$

• 将$x = a - by$代入式（2）得：

$a^2 - 2aby + b^2y^2 - 2ax_1 + 2bx_1y + x_1^2 + y^2 - 2y_1y + y_1^2 = z^2$

• 提取系数得：

$(b^2 + 1)y^2 + (2bx_1 - 2ab - 2y_1)y + a^2 - 2ax_1 + x_1^2 + y_1^2 - z^2 = 0$

• 令：

$c = b^2 + 1$

$d = 2bx_1 - 2ab - 2y_1$

$e = a^2 - 2ax_1 + x_1^2 + y_1^2 - z^2$

• 则：

$cy^2 + dy + e = 0$

• 根据一元二次方程求根公式，得：

$y = \frac {-d \pm \sqrt {d^2 - 4ce} } {2c}$

• 求出$y$之后，代入$x = a - by$，即可求得$x$